题目内容
设
、
是不共线的向量，且
=
-
，
=
+2
．
（1）证明：
、
可以作为一组基底；
（2）以
、
为基底，求向量的
=
-
的分解式．
| e1 |
| e2 |
| a |
| e1 |
| e2 |
| b |
| e1 |
| e2 |
（1）证明：
| a |
| b |
（2）以
| a |
| b |
| c |
| 3e |
| e2 |
考点：平面向量的基本定理及其意义
专题：平面向量及应用
分析：（1）根据基底的定义，只要证明
，
不共线即可．先假设共线，则存在实数λ，使
=λ
，然后容易说明找不到这样的λ，所以
，
不共线，所以可以作为一组基底．
（2）先设
=x
+y
，根据共面向量基本定理求出x，y即可．
| a |
| b |
| b |
| a |
| a |
| b |
（2）先设
| c |
| a |
| b |
解答：
解：（1）若
，
共线，∵
≠
，∴存在实数λ，使
=λ
；
∴
+2
=λ(
-
)=λ
-λ
；
∴
，显然这样的λ不存在；
∴
，
不共线；
∴
，
可以作为一组基底．
（2）设
=x
+y
；
∴3
-
=x(
-
)+y(
+2
)；
∴
；
解得：x=
，y=
；
∴
=
+
．
| a |
| b |
| a |
| 0 |
| b |
| a |
∴
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e2 |
∴
|
∴
| a |
| b |
∴
| a |
| b |
（2）设
| c |
| a |
| b |
∴3
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e2 |
∴
|
解得：x=
| 7 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
∴
| c |
| 7 |
| 3 |
| a |
| 2 |
| 3 |
| b |
点评：本题考查基底的定义，共线向量基本定理，共面向量基本定理．
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