Question

已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，左右焦点分别为F₁和F₂，且|F₁F₂|=2，离心率e=

1

2

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过F₁的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若△AF₂B的面积为

12 2

7

，求直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）由椭圆的几何性质得到c=1，a=2，再由a，b，c的关系得到b，即可得到椭圆的方程；
（Ⅱ）讨论直线l的斜率不存在和存在，设出直线方程，联立椭圆方程，消去y得到x的方程，运用韦达定理，再由弦长公式，求出弦长，再求点F₂到直线的距离，再由面积公式得到关于k的方程，解出即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵|F₁F₂|=2，离心率e=

1

2

，
∴c=1，

1

2

=

c

a

，即a=2，b²=a²-c²=3，
∴椭圆C的方程为：

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ）①当直线l⊥x轴时，可得A（-1，-

3

2

），B（-1，

3

2

），△AF₂B的面积为

1

2

×2×3=3，不符合题意．
②当直线l与x轴不垂直，设直线l的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程整理得，
（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，显然判别式大于0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-

8k2

3+4k2

，x₁x₂=

4k2-12

3+4k2

，
可得|AB|=

1+k2

•

( -8k2 3+4k2 )2- 16k2-48 3+4k2

=

12k2+12

3+4k2

，
又F₂（1，0）到直线l的距离为d=

2|k|

1+k2

，
∴△AF₂B的面积为S=

1

2

|AB|•d=

12|k|• 1+k2

3+4k2

=

12 2

7

，
化简得，17k⁴+k²-18=0，得k=±1，
∴直线l的方程为：x+y+1=0或x-y+1=0．

点评：本题考查椭圆的方程和几何性质：离心率，同时考查直线与椭圆的位置关系，直线方程与椭圆方程联立，求弦长，考查化简整理的运算能力，属于中档题．