Question

f（x）=

ax3

27

-x+1对于x∈[-3，3]总有f（x）≥0成立，则a=

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：f（x）=

ax3

27

-x+1对于x∈[-3，3]总有f（x）≥0成立?f（x）_min≥0，x∈[-3，3]．f′(x)=

ax2

9

-1，对a分类讨论，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可．

解答： 解：f′(x)=

ax2

9

-1，
①当a≤0时，f′（x）≤0，函数f（x）在x∈[-3，3]单调递减，∴f（x）_min=f（3）=a-3+1．
∵f（x）=

ax3

27

-x+1对于x∈[-3，3]总有f（x）≥0成立，∴a-2≥0，解得a≥2，不符合条件，应舍去．
②当a＞0时，f′（x）=

a(x- 3 a )(x+ 3 a )

9

．
当0＜a≤1时，

3

a

≥3，函数f（x）在x∈[-3，3]单调递减，∴f（x）_min=f（3）=a-3+1．
∵f（x）=

ax3

27

-x+1对于x∈[-3，3]总有f（x）≥0成立，∴a-2≥0，解得a≥2，不符合条件，应舍去．
当a＞1时，0＜

3

a

＜3，令f′（x）=0，解得x=±

3

a

．
列出表格：

x	[-3，- 3 a )	- 3 a	(- 3 a ， 3 a )	3 a	( 3 a ，3]
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

由表格可知：当x=

3

a

时，f（x）取得极小值，由f(

3

a

)=-

2

a

+1≥0，解得a≥4；
由f（-3）=-a+4≥0，解得a≤4．
∵f（x）=

ax3

27

-x+1对于x∈[-3，3]总有f（x）≥0成立，∴a=4．
故答案为：4．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．