Question

4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足2acosC+c=2b．
（1）求角A的大小；
（2）若a=1，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）在△ABC中，利用正弦定理求得2sinAcosC+sinC=2sinB，再由sinB=sin（A+C），求得cosA=$\frac{1}{2}$，可得A的值．
（2）利用余弦定理、基本不等式求得 bc≤1，再由三角形面积公式求得它的最大值．

解答 （本题满分为10分）
解：（1）在△ABC中，∵2acosC+c=2b，
∴由正弦定理可得：2sinAcosC+sinC=2sinB．-----（1分）
又sinB=sin（A+C），∴2sinAcosC+sinC=2sinAcosC+2cosAsinC，
∴sinC=2cosAsinC．-----（3分）
∵sinC≠0，
∴cosA=$\frac{1}{2}$，
∵A是三角形的内角，
∴A=$\frac{π}{3}$．--（5分）
（2）∵a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc≥2bc-bc=bc，
∴bc≤1．-----（8分）
∴S=$\frac{1}{2}$bcsinA≤$\frac{1}{2}$×1×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，即△ABC面积的最大值为$\frac{\sqrt{3}}{4}$．-----（10分）

点评 本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦定理、余弦定理、基本不等式的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．