Question

2．已知$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$是夹角为$\frac{π}{3}$的两个单位向量，非零向量$\overrightarrow{b}$=x$\overrightarrow{{e}_{1}}$+y$\overrightarrow{{e}_{2}}$，x，y∈R，若x+2y=2，则|$\overrightarrow{b}$|的最小值为1．

Answer 1

分析 计算${\overrightarrow{b}}^{2}$，将x=2-2y代入得到关于y的函数，求此函数的最小值．

解答 解：$\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}$=cos$\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}$.$\overrightarrow{b}$²=x²+y²+2xy$\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}$=x²+y²+xy．
∵x+2y=2，∴x=2-2y．
∴$\overrightarrow{b}$²=（2-2y）²+y²+（2-2y）y=3y²-6y+4=3（y-1）²+1．
∴当y=1时，$\overrightarrow{b}$²取得最小值1．
∴|$\overrightarrow{b}$|的最小值为1．
故答案为：1．

点评 本题考查了平面向量数量积的运算，二次函数的最值，属于基础题．