Question

10．函数f（x）=2$\sqrt{3}$sin（ωx+$\frac{π}{3}$）（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．
（Ⅰ）指出函数f（x）的值域；
（Ⅱ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅲ）若f（x₀）=$\frac{8\sqrt{3}}{5}$，且x₀∈（-$\frac{10}{3}$，$\frac{2}{3}$），求f（x₀+6）的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由函数的解析式求得函数的值域．
（Ⅱ）根据等边三角形 ABC的边长为半个周期，求得ω的值，可得函数的解析式．
（Ⅲ）由f（x₀）=$\frac{8\sqrt{3}}{5}$，求得sin（$\frac{π}{4}$x₀+$\frac{π}{3}$）=$\frac{4}{5}$．再利用同角三角函数的基本关系、诱导公式求得f（x₀+6）的值．

解答 解：（Ⅰ）根据函数f（x）=2$\sqrt{3}$sin（ωx+$\frac{π}{3}$），可得函数f（x）的值域为[-2$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$]．
（Ⅱ）由题意可得等边三角形 ABC的边长为$\frac{2\sqrt{3}}{sin60°}$=4，
∴$\frac{1}{2}$•$\frac{2π}{ω}$=4，求得ω=$\frac{π}{4}$，∴f（x）=2$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{3}$）．
（Ⅲ）若f（x₀）=2$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{4}$x₀+$\frac{π}{3}$）=$\frac{8\sqrt{3}}{5}$，则sin（$\frac{π}{4}$x₀+$\frac{π}{3}$）=$\frac{4}{5}$．
f（x₀+6）=2$\sqrt{3}$sin[$\frac{π}{4}$（x₀+6）x+$\frac{π}{3}$]=2$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{4}$x₀+$\frac{3π}{2}$+$\frac{π}{3}$）=-cos（$\frac{π}{4}$x₀+$\frac{π}{3}$）．
∵x₀∈（-$\frac{10}{3}$，$\frac{2}{3}$），∴$\frac{π}{4}$x₀+$\frac{π}{3}$∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），
∴cos（$\frac{π}{4}$x₀+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{{1-sin}^{2}（\frac{π}{4}{•x}_{0}+\frac{π}{3}）}$=$\frac{3}{5}$，
∴f（x₀+6）=-$\frac{3}{5}$．

点评 本题主要考查正弦函数的值域，正弦函数的周期性，同角三角函数的基本关系，属于中档题．