Question

4．已知向量$\overrightarrow{a}$=（m，n-1）与$\overrightarrow{b}$=（2，-1）平行，则$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$的最小值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{5}}{5}$
• D． $\frac{2\sqrt{5}}{5}$

Answer 1

分析 根据题意，由于向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$平行，结合向量平行的坐标表示方法可得m×（-1）-（n-1）×2=0，即m=2-2n，将其代入$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$中可得$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$=$\sqrt{（2-2n）^{2}+{n}^{2}}$=$\sqrt{5{n}^{2}-8n+4}$，结合二次函数的性质计算即可得答案．

解答 解：根据题意，向量$\overrightarrow{a}$=（m，n-1）与$\overrightarrow{b}$=（2，-1）平行，
则有m×（-1）-（n-1）×2=0，即m=2-2n，
则$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$=$\sqrt{（2-2n）^{2}+{n}^{2}}$=$\sqrt{5{n}^{2}-8n+4}$，
而5n²-8n+4=5（n²-$\frac{8n}{5}$+$\frac{16}{25}$）+$\frac{4}{5}$≥$\frac{4}{5}$，
则有$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$=$\sqrt{5{n}^{2}-8n+4}$≥$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
即$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$的最小值为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
故选：D．

点评 本题考查基本不等式的性质以及向量平行的坐标表示，关键是求出m、n的关系．