Question

20．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为$a，b，c．且满足\frac{asinA+bsinB-csinC}{asinB}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}sinC$．
（1）求角C；
（2）若△ABC的中线CD的长为1，求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由已知及正弦定理可得：$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{ab}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinC，由余弦定理，同角三角函数基本关系式可求tanC的值，结合范围C∈（0，π），可得C的值．
（2）由三角形中线长定理得：2（a²+b²）=4+c²，由三角形余弦定理得：c²=a²+b²-ab，消去c²，结合基本不等式可求ab≤$\frac{4}{3}$，利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 解：（1）∵由已知及正弦定理可得：$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{ab}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinC，
∴由余弦定理可得：$cosC=\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}sinC$，
即$tanC=\sqrt{3}$，
∴由C∈（0，π），可得$C=\frac{π}{3}$．
（2）由三角形中线长定理得：2（a²+b²）=2²+c²=4+c²，
由三角形余弦定理得：c²=a²+b²-ab，
消去c²得：$4-ab={a^2}+{b^2}≥2ab，ab≤\frac{4}{3}$（当且仅当a=b时，等号成立），
即${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC≤\frac{1}{2}×\frac{4}{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，三角形中线长定理的综合应用，三角形中线长定理主要表述三角形三边和中线长度关系，定理内容为：三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边的一半平方与该边中线平方和的2倍，属于中档题．