Question

13．已知函数f（x）=|2x-1|+ax-1（a∈R）．
（1）当a=1时，解不等式f（x）≥0；
（2）若不等式f（a）+f（-a）≤0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出即可；
（2）问题转化为|2a-1|+|2a+1|≤2恒成立，通过讨论a的范围，得到关于a的不等式组，解出即可．

解答 解：（1）a=1时，f（x）=|2x-1|+x-1，
由不等式f（x）≥0可化为：
$\left\{\begin{array}{l}{x≥\frac{1}{2}}\\{2x-1+x-1≥0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜\frac{1}{2}}\\{1-2x+x-1≥0}\end{array}\right.$，
解得：x≥$\frac{2}{3}$或x≤0，
故不等式的解集是（-∞，0]∪[$\frac{2}{3}$，+∞）；
（2）若不等式f（a）+f（-a）≤0恒成立，
即|2a-1|+a²-1+|2a+1|-a²-1≤0恒成立，
即|2a-1|+|2a+1|≤2恒成立，
即$\left\{\begin{array}{l}{a≥\frac{1}{2}}\\{2a-1+2a+1≤2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}＜a＜\frac{1}{2}}\\{1-2a+2a+1≤2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a≤-\frac{1}{2}}\\{1-2a-2a-1≤2}\end{array}\right.$，
解得：-$\frac{1}{2}$≤a≤$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．