Question

8．已知（x+2）ⁿ=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²…+a_n（x-1）ⁿ（n∈N*）．
（1）求a₀及S_n=$\sum_{i=1}^{n}$a_i；
（2）试比较S_n与（n-2）3ⁿ+2n²的大小，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）令x=1，则${a_0}={3^n}$，再令x=2，则$\sum_{i=0}^n{a_i}={4^n}$，可得S_n=$\sum_{i=1}^{n}$a_i 的值．
（2）要比较S_n与（n-2）3ⁿ+2n²的大小，只要比较4ⁿ与（n-1）3ⁿ+2n²的大小．检验可得当n=1或4或5时，4ⁿ＞（n-1）3ⁿ+2n²，当n=2或3或4时，4ⁿ＞（n-1）3ⁿ+2n²．猜测当n≥5时，4ⁿ＞（n-1）3ⁿ+2n²，再用数学归纳法、放缩法证明结论．

解答 解：（1）令x=1，则${a_0}={3^n}$，令x=2，则$\sum_{i=0}^n{a_i}={4^n}$，所以S_n=$\sum_{i=1}^{n}$a_i =4ⁿ-3ⁿ．
（2）要比较S_n与（n-2）3ⁿ+2n²的大小，只要比较4ⁿ与（n-1）3ⁿ+2n²的大小．
当n=1时，4ⁿ＞（n-1）3ⁿ+2n²，当n=2或3时，4ⁿ＜（n-1）3ⁿ+2n²，
当n=4时，4ⁿ＜（n-1）3ⁿ+2n² ，
当n=5时，4ⁿ＞（n-1）3ⁿ+2n²．
猜想：当n≥5时，4ⁿ＞（n-1）3ⁿ+2n²．下面用数学归纳法证明：
①由上述过程可知，当n=5时，结论成立．
②假设当n=k（k≥4，k∈N^*）时结论成立，即4^k＞（k-1）3^k+2k²，
两边同乘以4，得4^k+1＞4[（k-1）3^k+2k²]=k3^k+1+2（k+1）²+[（k-4）3^k+6k²-4k-2]，
而（k-4）3^k+6k²-4k-2=（k-4）3^k+6（k²-k-2）+2k+10=（k-4）3^k+6（k-2）（k+1）+2k+10＞0，
所以4^k+1＞[（k+1）-1]3^k+1+2（k+1）²，
即n=k+1时结论也成立．
由①②可知，当n≥4时，4ⁿ＞（n-1）3ⁿ+2n²成立．
综上所述，当n=1时，${S_n}＞（n-2）{3^n}+2{n^2}$；当n=2或3时，4ⁿ＜（n-1）3ⁿ+2n²，S_n＜（n-2）3ⁿ+2n²；
当n≥5时，${S_n}＞（n-2）{3^n}+2{n^2}$．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，用数学归纳法、放缩法证明不等式，属于中档题．