Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的图象与y轴的交点为（0，1），它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x₀，2）和（x₀+2π，-2）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式及x₀的值；
（Ⅱ）求f（x）在[-π，π]上的最小值和最大值．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，根据特殊点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式．
（Ⅱ）由 x∈[-π，π]，利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）在[-π，π]上的最小值和最大值．

解答： 解：（Ⅰ）由函数f（x）的图象可得A=2，
再根据它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x₀，2）和（x₀+2π，-2），
可得函数的周期为2×2π=4π=

2π

ω

，求得ω=

1

2

．
再根据函数f（x）的图象与y轴的交点为（0，1），可得2sinφ=1，即 sinφ=

1

2

，结合，|φ|＜

π

2

，可得φ=

π

6

，
故函数f（x）=2sin（

1

2

x+

π

6

）．
把函数在y轴右侧的第一个最高点（x₀，2）代入函数的解析式可得2sin（

1

2

x₀+

π

6

）=2，求得

1

2

x₀+

π

6

=

π

2

，∴x₀=

2π

3

．
（Ⅱ）∵x∈[-π，π]，可得

1

2

x+

π

6

∈[-

π

3

，

2π

3

]，∴sin（

1

2

x+

π

6

）∈[-

3

2

，1]，
故2sin（

1

2

x+

π

6

）的最大值为2，最小值为-

3

．

点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．