Question

8．下列命题中真命题的个数是（　　）
 ①命题“?x∈R，x³-x²+1≤0”的否定是“?x₀∈R，x${\;}_{0}^{3}$-x${\;}_{0}^{2}$+1＞0”；
 ②若命题p，q中有一个是假命题，则￢（p∧q）是真命题；
 ③在△ABC中，“cosA+sinA=cosB+sinB”是“C=90°”的必要不充分条件．

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 ①，写出命题“?x∈R，x³-x²+1≤0”的否定，可判断①正确；
②，若命题p，q中有一个是假命题⇒p∧q为假命题⇒￢（p∧q）是真命题，可判断②正确；
③，在△ABC中，若cosA+sinA=cosB+sinB⇒$\sqrt{2}$sin（A+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$sin（B+$\frac{π}{4}$）⇒A+$\frac{π}{4}$=B+$\frac{π}{4}$，或A+$\frac{π}{4}$=π-（B+$\frac{π}{4}$），即A=B或A+B=$\frac{π}{2}$，可判断③正确．

解答 解：对于①，命题“?x∈R，x³-x²+1≤0”的否定是“?x₀∈R，x${\;}_{0}^{3}$-x${\;}_{0}^{2}$+1＞0”，故①正确；
 对于②，若命题p，q中有一个是假命题，则，p∧q为假命题，￢（p∧q）是真命题，故②正确；
 对于③，在△ABC中，若cosA+sinA=cosB+sinB，即$\sqrt{2}$sin（A+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$sin（B+$\frac{π}{4}$），
所以，A+$\frac{π}{4}$=B+$\frac{π}{4}$，或A+$\frac{π}{4}$=π-（B+$\frac{π}{4}$），即A=B或A+B=$\frac{π}{2}$，
所以在△ABC中，“cosA+sinA=cosB+sinB”是“C=90°”的必要不充分条件，故③正确．
综上所述，以上命题中真命题的个数是3个，
故选：D．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，突出考查命题及其否定、用逻辑连接词联系的复合命题的真假判断及充分必要条件，属于中档题．