Question

11．已知等差数列{a_n}满足a₃=3，前6项和为21．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=3${\;}^{{a}_{n}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列通项公式和前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由b_n=3${\;}^{{a}_{n}}$=3ⁿ，能求出数列{b_n}的前n项和．

解答 解：（1）∵等差数列{a_n}满足a₃=3，前6项和为21，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=3}\\{6{a}_{1}+\frac{6×5}{2}d=21}\end{array}\right.$，
解得a₁=1，d=1，
∴a_n=1+（n-1）×1=n．
（2）b_n=3${\;}^{{a}_{n}}$=3ⁿ，
∴数列{b_n}的前n项和：
T_n=3+3²+3³+…+3ⁿ
=$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$=$\frac{3}{2}（{3}^{n}-1）$．

点评 本题考查等差数列的通项公式的求法，考查等比数列的前n项和的求法，考查等差数列、等比数列等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．