Question

若x₀是函数y=f（x）的极值点，同时也是其导函数y=f′（x）的极值点，则称x₀是函数y=f（x）的“致点”．
（Ⅰ）已知a＞0，求函数f（x）=（x²+ax+1）e^x的极值和单调区间；，
（Ⅱ）函数f（x）=（x²+ax+1）e^x是否有“致点”？若有，求出“致点”；若没有，试说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（I）利用导数的运算法则可得f′（x），分别解出f′（x）＞0与f′（x）＜0即可得出单调区间；
（Ⅱ）根据新定义，令g（x）=f′（x），假设假设f（x）有“致点”为x₀，求出“致点”，再根据函数极值求需要a≠0，分别得出a=0，相矛盾，故函数f（x）无“致点”．

解答： 解  （Ⅰ）f′（x）=（x²+ax+1）e^x+（2x+a）e^x=）=（x²+ax+1+2x+a）e^x=（x+a+1）（x+1）e^x，
∵a＞0，
∴-a-1＜-1．
∴当x∈（-∞，-a-1）时，f′（x）＞0；当x∈（-a-1，-1）时，f′（x）＜0；当x∈（-1，+∞）时，f′（x）＞0；
所以，f（x）单调递增区间为（-∞，-a-1）和∈（-1，+∞），单调递减区间为（-a-1，-1），
且当x=-1时，f（x）有极小值（2-a）e^-1，当x=-a-1时，f（x）有极大值（a+2）e^-a-1，．
（2）由（1）知，f′（x）=（x+a+1）（x+1）e^x，
令g（x）=f′（x），
则g′（x）=[x²+（a+4）x+2a+3]e^x，
假设f（x）有“致点”为x₀，
则x₀首先应是f（x）的极值点，即f′（x₀）=0，∴x₀=-1或x₀=-a-1
当a=0时，-a-1=-1，此时f′（x₀）≥0恒成立，f（x）无极值．
∴要使f（x）有极值，须a≠0                                                     
若x₀=-1，则由题意可知g′（-1）=0，∴1-（a+4）+2a+3=0解得：a=0与a≠0矛盾，即-1不是f（x）的“致点”，
若x₀=-a-1，则由题意可知g′（-a-1）=0，∴（a+1）-（a+4）（a+1）+2a+3=0解得：a=0与a≠0矛盾，即-a-1不是f（x）的“致点”，
∴函数f（x）无“致点”．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值、函数在某个区间上的取值范围等基础知识与基本方法，属于难题．