Question

15．在直角坐标系xOy中，曲线C₁：$\left\{{\begin{array}{l}{x=3+αcost}\\{y=2+αsint}\end{array}}\right.$（t为参数，a＞0），在以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C₂：ρ=4sinθ．
（1）试将曲线C₁与C₂化为直角坐标系xOy中的普通方程，并指出两曲线有公共点时a的取值范围；
（2）当a=3时，两曲线相交于A，B两点，求|AB|的值．

Answer 1

分析 （1）曲线C₁消去参数t，得到曲线C₁的普通方程为（x-3）²+（y-2）²=a²．由ρ=4sinθ，得ρ²=4ρsinθ，能求出曲线C₂的普通方程为x²+（y-2）²=4．曲线C₁是以C₁（3，2）为圆心，r₁=a为半径的圆，曲线C₂是以（0，2）为圆心，r₂=2为半径的圆，由此能当两曲线有公共点时a的取值范围．
（2）当a=3时，曲线C₁为（x-3）²+（y-2）²=9，联立方程$\left\{\begin{array}{l}{（x-3）^2}+{（y-2）^2}=9\\{x^2}+{（{y-2}）^2}=4\end{array}\right.$，得两曲线的交点A，B所在直线方程为$x=\frac{2}{3}$，曲线x²+（y-2）²=4的圆心到直线$x=\frac{2}{3}$的距离为$d=\frac{2}{3}$，由此能求出|AB|．

解答 解：（1）曲线C₁：$\left\{{\begin{array}{l}{x=3+αcost}\\{y=2+αsint}\end{array}}\right.$消去参数t，
得到曲线C₁的普通方程为（x-3）²+（y-2）²=a²．
由ρ=4sinθ，得ρ²=4ρsinθ．
故曲线C₂：ρ=4sinθ化为平面直角坐标系中的普通方程为x²+（y-2）²=4．
曲线C₁是以C₁（3，2）为圆心，r₁=a为半径的圆，
曲线C₂是以（0，2）为圆心，r₂=2为半径的圆，
|C₁C₂|=3，∴当两曲线有公共点时，|a-2|≤3≤a+2，解得1≤a≤5，
∴当两曲线有公共点时a的取值范围为[1，5]．
（2）当a=3时，曲线C₁：$\left\{{\begin{array}{l}{x=3+3cost}\\{y=2+3sint}\end{array}}\right.$，即（x-3）²+（y-2）²=9，
联立方程$\left\{\begin{array}{l}{（x-3）^2}+{（y-2）^2}=9\\{x^2}+{（{y-2}）^2}=4\end{array}\right.$消去y，得两曲线的交点A，B所在直线方程为$x=\frac{2}{3}$．
曲线x²+（y-2）²=4的圆心到直线$x=\frac{2}{3}$的距离为$d=\frac{2}{3}$，
所以$|AB|=2\sqrt{4-\frac{4}{9}}=\frac{{8\sqrt{2}}}{3}$．

点评 本题考查圆的普通方程的求法，考查弦长的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．