Question

【题目】已知函数，为的导数．

（1）求的最值；

（2）若对恒成立，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）最小值为，无最大值（2）

【解析】

（1）本题首先可求出以及，然后绘出函数、以及的图像，结合图像即可得出结果；

（2）本题首先可判断出函数是增函数和奇函数，然后根据增函数和奇函数的性质将转化为，最后令，通过求解函数的最值即可得出结果.

（1）因为函数，

所以，，

如图，分别绘出函数、以及的图像，

结合函数图像，易知：

当时，，，函数是增函数，

当时，，，函数是减函数，

当时，，此时函数取最小值，，

故有最小值，最小值为，无最大值，

（2）因为，

所以函数是奇函数，

因为由（1）可知，，

所以函数是增函数，

故，即，，

化简得，

因为对恒成立，

所以恒成立，

令，则，

当时，，函数是减函数，

当时，，函数是增函数，

当时，，函数取最大值，，

因为恒成立，所以的取值范围为.