Question

14．如图，过点P作圆O的割线PBA与切线PE，E为切点，连接AE，BE，∠APE的平分线与AE，BE分别交于点C，D．
（1）求证：$\frac{DB}{DE}$=$\frac{PD}{PC}$；
（2）若∠PCE=2∠AEB，求∠PDB的大小．

Answer 1

分析 （1）由题意可知，∠EPC=∠APC，∠PEB=∠PAC，从而△PED∽△PAC，结合PD平分∠BPE，切割线定理，由此能证明$\frac{DB}{DE}$=$\frac{PD}{PC}$；
（2）由∠PCE=∠A+∠APC=∠PED+∠EPC=∠EDC=∠PDB，能求出∠PDB的大小．

解答 （1）证明：由题意可知，∠EPC=∠APC，∠PEB=∠PAC，
则△PED∽△PAC，则$\frac{PE}{PA}$=$\frac{PD}{PC}$①，
又PD平分∠BPE，∴$\frac{PE}{PB}$=$\frac{DE}{DB}$②，
∵PE²=PA•PB，
∴①×②可得：$\frac{DB}{DE}$=$\frac{PD}{PC}$（5分）
（2）解：∠PCE=∠A+∠APC=∠PED+∠EPC=∠EDC=∠PDB，
∴∠PCE+∠AEB+∠EDC=180°，
∴∠AEB=36°，
∴∠PDB=72°．（10分）

点评 本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到弦切角定理以及三角形相似等内容．本小题重点考查考生对平面几何推理能力．