Question

11．已知曲线C：y²=4x，M：（x-1）²+y²=4（x≥1），直线l与曲线C相交于A、B两点，O为坐标原点．
（Ⅰ）若$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=-4$，求证：直线l恒过定点，并求出定点坐标；
（Ⅱ）若直线l与曲线C₁相切，M（1，0），求$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入到$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=-4$，求得x₁x₂+y₁y₂=-4，即n²-4n=-4，由此求得n=2．根据点A表示出AB的直线方程整理可知过定点（2，0），综合结论可得．
（Ⅱ）由直线与圆相切的性质可得$\frac{{|{1-n}|}}{{\sqrt{1+{m^2}}}}=2$，变形可得4m²=n²-2n-3，结合（1）的方程可得$\begin{array}{l}\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}=（{x_1}-1，{y_1}）•（{x_2}-1，{y_2}）\end{array}$，由根与系数的关系分析可得答案．

解答 解：（Ⅰ）由已知，可设l：x=my+n，A（x₁，y₁）??，B（x₂，y₂）
由$\left\{\begin{array}{l}x=my+n\\{y^2}=4x\end{array}\right.$得：y²-4my-4n=0，
∴y₁+y₂=4m，y₁•y₂=-4n．
∴${x_1}+{x_2}=4{m^2}+2n，{x_1}•{x_2}={n^2}$．
∴由$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=-4$可得：${x_1}•{x_2}+{y_1}•{y_2}={n^2}-4n=-4$．
解得：n=2．
∴l：x=my+2，
∴直线l恒过定点（2，0）．
（Ⅱ）∵直线l与曲线C₁相切，M（1，0），显然n≥3，
∴$\frac{{|{1-n}|}}{{\sqrt{1+{m^2}}}}=2$，
整理得：4m²=n²-2n-3．①
由（Ⅰ）及①可得：
$\begin{array}{l}\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}=（{x_1}-1，{y_1}）•（{x_2}-1，{y_2}）\\=（{x_1}-1）•（{x_2}-1）+{y_1}•{y_2}\\={x_1}•{x_2}-（{x_1}+{x_2}）+1+{y_1}•{y_2}\\={n^2}-4{m^2}-2n+1-4n\\={n^2}-4{m^2}-6n+1\\=4-4n\end{array}$
∴$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}≤-8$，即$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$的取值范围是（-∞，-8]．

点评 考查抛物线、圆的方程、直线和圆锥曲线的位置关系，涉及向量的数量积运算，一般需要联立直线与圆锥曲线的方程，利用根与系数的关系分析．