Question

6．在数列{a_n}中，a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=$\frac{3{a}_{n}}{{a}_{n}+3}$，求a₂、a₃、a₄的值，由此猜想数列{a_n}的通项公式，并证明你的猜想．

Answer 1

分析 求出数列的前几项，猜想通项公式，然后利用数学归纳法证明步骤证明即可．

解答 解：a₁=$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{6}$，a₂=$\frac{3}{7}$，a₃=$\frac{3}{8}$，a₄=$\frac{3}{9}$，
猜想a_n=$\frac{3}{n+5}$，下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，a₁=$\frac{3}{1+5}$=$\frac{1}{2}$，猜想成立．
②假设当n=k（k≥1，k∈N^*）时猜想成立，
即a_k=$\frac{3}{k+5}$．则当n=k+1时，
a_k+1=$\frac{3{a}_{k}}{{a}_{k}+3}$=$\frac{3•\frac{3}{k+5}}{\frac{3}{k+5}+3}$=$\frac{3}{（k+1）+5}$，
所以当n=k+1时猜想也成立，
由①②知，对n∈N^*，a_n=$\frac{3}{n+5}$都成立

点评 本题考查数学归纳法法应用，考查逻辑推理能力以及计算能力．