Question

16．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，bsinA+acos（B+C）=0且$c=2，sinC=\frac{3}{5}$，
（1）求证：$B-A=\frac{π}{2}$；
（2）求a+b的值．

Answer 1

分析 （1）根据正弦定理可得和诱导公式即可证明，
（2）由诱导公式和二倍角公式以及同角的三角函数的关系和正弦定理即可求出

解答 （1）证明：∵bsinA+acos（B+C）=0，
∴bsinA-acosA=0，
又由正弦定理得sinAcosA-sinBsinA=0，
∵sinA≠0，
即cosA=sinB．
∴cosA=sin（$\frac{π}{2}$+A）=sinB，
∴$\frac{π}{2}$+A+B=π，
即C=A+B=$\frac{π}{2}$，或B=$\frac{π}{2}$+A，
即B-A=$\frac{π}{2}$，
又sinC=$\frac{3}{5}$，
∴B-A=$\frac{π}{2}$，
（2）由于$c=2，sinC=\frac{3}{5}$，C为锐角，
则cosC=sin（$\frac{π}{2}$-C）=sin2A=2sinAcosA=$\frac{4}{5}$，
则1+2sinAcosA=（sinA+cosA）²=$\frac{9}{5}$，
∴sinA+cosA=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
∴a+b=$\frac{c}{sinc}$（sinA+cosA）=$\frac{10}{3}$×$\frac{3\sqrt{5}}{5}$=2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了正弦定理和二倍角公式以及同角的三角函数的关系，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题