Question

已知函数f（x）=

x

1+x

，规定：

a

m n

=f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

m

n

)(n，m∈N*)，且S_n^m=a₁^m+a₂^m+…+a_n^m（n，m∈N^*），

S

2014 2014

的值是

 

．

Answer 1

考点：函数的值

专题：函数的性质及应用

分析：由已知中，函数f（x）=

x

1+x

，可得f（x）+f（

1

x

）=1，进而结合S_n^m=a₁^m+a₂^m+…+a_n^m，可得答案．

解答： 解：∵f（x）=

x

1+x

，
∴f（x）+f（

1

x

）=

x

1+x

+

1 x

1+ 1 x

=1，f（1）=

1

2

，
∵

a

m n

=f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

m

n

)(n，m∈N*)且S_n^m=a₁^m+a₂^m+…+a_n^m（n，m∈N^*），
∴S₂₀₁₄²⁰¹⁴=a₁²⁰¹⁴+a₂²⁰¹⁴+…+a_n²⁰¹⁴=f(

1

1

)+f(

2

1

)+…+f(

2014

1

)+f(

1

2

)+f(

2

2

)+…+f(

2014

2

)+f(

1

3

)+f(

2

3

)+…+f(

2014

3

)+…+f(

1

2014

)+f(

2

2014

)+…+f(

2014

2014

)=

1

2

×2014×2014=2028098，
故答案为：2028098

点评：本题考查的知识点是函数求值，其中分析出f（x）+f（

1

x

）=1，即

S

2014 2014

中各项的平均数为

1

2

是解答的关键．