Question

如图，在直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，∠ACB=90°，CA=CB=CC₁，M，P，N分别为A₁C₁，A₁C，BC的中点．
（Ⅰ）证明平面MNP∥平面ABB₁A₁；
（Ⅱ）求A₁C与平面ABB₁A₁所成的角．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,平面与平面平行的判定

专题：计算题,证明题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）运用中位线定理和线面平行的判定定理，以及面面平行的判定定理．即可得证；
（Ⅱ）取AB中点D，连接CD，A₁D，运用线面垂直的性质和判定定理，即可得到∠CA₁D为A₁C与平面ABB₁A₁所成的角，再通过解Rt△CA₁D，即可得到所求的角．

解答： （Ⅰ）证明：∵M，P分别是A₁C₁，A₁C的中点，∴MP∥CC₁，
又CC₁∥AA₁，∴MP∥AA₁，又MP?平面ABB₁A₁，AA₁?平面ABB₁A₁，
∴MP∥平面ABB₁A₁，
同理PN∥平面ABB₁A₁，MP∩PN=P，
∴平面MNP∥平面ABB₁A₁；
（Ⅱ）解：取AB中点D，连接CD，A₁D，
∵AA₁⊥平面ABC，CD?平面ABC，∴AA₁⊥CD，
又∵AC=BC，D为AB中点，∴CD⊥AB，又AA₁∩AB=A，
∴CD⊥平面ABB₁A₁，
∴∠CA₁D为A₁C与平面ABB₁A₁所成的角．
在Rt△CA₁D中，∠CDA₁=90°，设CA=1，可得CD=

2

2

，A₁C=

2

，
sin∠CA₁D=

CD

A1C

=

1

2

，∴∠CA₁D=30°，
即A₁C与平面ABB₁A₁所成的角为30°．

点评：本题考查空间两平面平行的判定定理和运用，考查空间线面所成角的求法，考查运算能力，属于中档题．