Question

如图，一条直线与抛物线y²=2px（p＞0）交于A、B两点，且OA⊥OB，F为抛物线的焦点，若△ABO与△AFO面积之和的最小值为50

5

，则抛物线的方程为（　　）

• A、y²=20x
• B、y²=10x
• C、y²=5x
• D、y²=

  5

  2

  x

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,抛物线的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及x₁•x₂+y₁•y₂=0消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题．

解答： 解：设直线AB的方程为：x=ty+m，点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB与x轴的交点为M（m，0），
x=ty+m代入y²=2px，可得y²-2pty-2pm=0，根据韦达定理有y₁•y₂=-2pm，
∵OA⊥OB，∴x₁•x₂+y₁•y₂=0，从而

1

4p2

（y₁•y₂）²+y₁•y₂=0，
∵点A，B位于x轴的两侧，
∴y₁•y₂=-4p²，故m=2p．
不妨令点A在x轴上方，则y₁＞0，
又F（

p

2

，0），
∴S_△ABO+S_△AFO=

1

2

×2p×（y₁-y₂）+

1

2

×

p

2

y₁=

5p

4

y₁+

4p3

y1

≥2

5

p²，
当且仅当

5p

4

y₁=

4p3

y1

时，取“=”号，
∴2

5

p²=50

5

，∴p=5
故抛物线的方程为：y²=10x．
故选：B．

点评：求解本题时，应考虑以下几个要点：
1、联立直线与抛物线的方程，消x或y后建立一元二次方程，利用韦达定理与已知条件消元，这是处理此类问题的常见模式．
2、求三角形面积时，为使面积的表达式简单，常根据图形的特征选择适当的底与高．
3、利用基本不等式时，应注意“一正，二定，三相等”．