Question

已知圆C₁：x²+y²=1与圆C₂：（x-2）²+（y-4）²=5，过动点 P（a，b）分别作圆C₁，圆C₂的切线PM，PN（ M、N分别为切点），若PM=PN，则（a-5）²+（b+1）²的最小值是

 

．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：根据条件PM=PN，求出P的轨迹方程，（a-5）²+（b+1）²的几何意义为P到定点（5，-1）的距离的平方，即可得到结论．

解答： 解：∵过动点 P（a，b）分别作圆C₁，圆C₂的切线PM，PN（ M、N分别为切点），若PM=PN，
∴|PC₁|²-1=|PC₂|²-5，
即a²+b²-1=（a-2）²+（b-4）²-5，
即a+2b-4=0，即动点P（a，b）在直线x+2y-4=0上，
（a-5）²+（b+1）²的几何意义为P到定点（5，-1）的距离的平方，
则点（5，-1）到直线x+2y-4=0的距离为

|5+2×(-1)-4|

1+22

=

5

5

，
故（a-5）²+（b+1）²的最小值为

1

5

，
故答案为：

1

5

点评：本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，以及点到直线的距离公式的应用，利用距离的几何意义是解决本题的关键．