Question

已知函数f（x）=∫0x（2t+2）dt+alnx
（1）当a=-4时，求函数f（x）的最小值；
（2）当t≥1时，不等式f（2t-1）≥2f（t）-3恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,函数恒成立问题,定积分

专题：导数的综合应用

分析：（1）求定积分可得f（x）=x²+2x+alnx，当a=-4时，f（x）=x²+2x-4lnx（x＞0），求导数判单调性可得最值；
（2）问题转化为a[ln（2t-1）-lnt²]≥2[（2t-1）-t²]恒成立，当t=1时，不等式显然成立；当t＞1时，可得a≤

2[(2t-1)2-t2]

ln(2t-1)-lnt2

恒成立，令u=

2[(2t-1)2-t2]

ln(2t-1)-lnt2

（t＞1），导数法求u的最小值结合k_AB可得．

解答： 解：（1）∵f（x）=∫0x（2t+2）dt+alnx
=2t²+2t

|

x 0

+alnx=x²+2x+alnx，
当a=-4时，f（x）=x²+2x-4lnx（x＞0），
∴f′（x）=2x+2-

4

x

=

2(x-1)(x+2)

x

，
当x＞1时，f′（x）＞0，当0＜x＜1时，f′（x）＜0
∴f（x）在（0，1）上单调减，在（1，+∞）上单调增，
∴函数f（x）的最小值f（x）_min=f（1）=3
（2）不等式f（2t-1）≥2f（t）-3恒成立即（2t-1）²+2（2t-1）+aln（2t-1）≥2t²+4t+2alnt-3恒成立，
即a[ln（2t-1）-2lnt]≥-2t²+4t-2恒成立，即a[ln（2t-1）-lnt²]≥2[（2t-1）-t²]恒成立，
当t=1时，不等式显然成立；
当t＞1时，可得a≤

2[(2t-1)2-t2]

ln(2t-1)-lnt2

恒成立，
令u=

2[(2t-1)2-t2]

ln(2t-1)-lnt2

（t＞1），即求u的最小值，
设A（t²，lnt²），B（2t-1，ln（2t-1）），则k_AB=

ln(2t-1)-lnt2

(2t-1)-t2

，
且A、B两点在y=lnx的图象上，又∵t²＞1，2t-1＞1，故0＜k_AB＜y′|_x=1=1
∴u=2•

1

k

，故a≤2，即实数a的取值范围为（-∞，2]

点评：本题考查导数的综合应用，涉及定积分和函数恒成立，属中档题．