Question

已知圆E：（x-1）²+（y-2）²=25直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）．
（1）证明不论m取什么实数，直线与圆恒交于两点；
（2）设P（x，y）是圆E上任意一点，求x+y的取值范围．
（3）已知AC、BD为圆C的两条相互垂直的弦，垂足为M（3，1），求四边形ABCD的面积的最大值．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）求出直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0恒过定点，确定点在圆E内，即可得出结论；
（2）利用参数法，表示x+y，利用辅助角公式化简，即可求x+y的取值范围．
（3）利用四边形ABCD的面积S=

1

2

|AC||BD|，结合基本不等式，即可求四边形ABCD的面积的最大值．

解答： （1）证明：直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0可化为（x+y-4）+m（2x+y-7）=0，
∵m∈R，∴x+y-4=0，且2x+y-7=0，得x=3，y=1，
即l恒过定点M（3，1）．
∵圆心E（1，2），|ME|=

5

＜5，
∴点M在圆E内，从而直线l恒与圆E相交于两点．
（2）解：设x=1+5cosα，y=2+5sinα，则x+y=3+5（cosα+sinα）=3+5

2

sin（α+θ）∈[3-5

2

，3+5

2

]；
（3）解：设圆心E到AC，BD的距离分别为d₁，d₂，则d12+d22=EM=5，
∴四边形ABCD的面积S=

1

2

|AC||BD|=2

(25-d12)(25-d22)

≤50-（d12+d22）=45．

点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查参数法的运用，考查四边形面积的计算，属于中档题．