Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为梯形，AB∥DC，AB⊥BC，PA=AB=BC=

1

2

DC，点E在棱PB上，且

PE

=λ

EB

．
（1）当λ=2时，求证：PD∥面EAC；
（2）若直线PA与平面EAC所成角为30°，求实数λ的值．

Answer 1

考点：用空间向量求直线与平面的夹角,直线与平面平行的判定,直线与平面所成的角

专题：空间位置关系与距离,空间向量及应用

分析：（1）由已知条件，推导出EM∥PD，利用直线与平面平行的判定定理能证明PD∥面EAC．
（2）以A为坐标原点，分别以AB，AP为y轴，Z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出实数λ的值．

解答： （本小题满分为10分）
（1）证明：连接BD交AC于点M，连结ME，
∵AB∥DC，∴

|MB|

|MD|

=

|AB|

|CD|

=

1

2

，
当λ=2时

|BE|

|EP|

=

1

2

，
∴

|MB|

|MD|

=

|BE|

|EP|

，∴EM∥PD．
∵PD不包含于平面EAC，EM?平面EAC
∴PD∥面EAC．…（4分）
（2）由已知可以A为坐标原点，分别以AB，AP为y轴，Z轴建立空间直角坐标系，
设DC=2，则A（0，0，0），C（1，1，0），B（0，1，0），P（0，0，1），
由

PE

=λ

EB

，得E点的坐标为(0，

λ

1+λ

，

1

1+λ

)…（6分）
所以

AC

=(1，1，0)，

AE

=(0，

λ

1+λ

，

1

1+λ

)．
设平面EAC的一个法向量为

n

=(x，y，z)，
则

x+y=0 λ 1+λ y+ 1 1+λ z=0

，
设z=λ，则y=-1，x=1，所以

n

=(1，-1，λ)…（8分）
若直线PA与平面EAC所成角为30°，
则cos60°=

λ

2+λ2

，…（9分）
解得λ=

6

3

…（10分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面所成角的应用，解题时要注意等价转化思想和向量法的合理运用．