Question

已知函数f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf（x+1）=（1+x）f（x），则f(

2013

2

)的值是（　　）

• A、

  2013

  2

• B、1
• C、

  2015

  2

• D、0

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：由xf（x+1）=（1+x）f（x）结构来看，选用递推的方法，用赋值法依次求出f（

1

2

）=0，f（

3

2

）=0．f（

5

2

）=0，f（

7

2

）=0，于是可以找到规律，问题得以解决．

解答： 解：∵xf（x+1）=（1+x）f（x），
令x=-

1

2

，
则-

1

2

f（-

1

2

+1）=（1-

1

2

）f（-

1

2

），
∴f（

1

2

）=0，
同理可求 f（

3

2

）=0，f（

5

2

）=0，f（

7

2

）=0，
由以上可得f（

x

2

）=0，x∈2n+1．n∈N，
所以f(

2013

2

)=0．
故选：D．

点评：本题主要考查抽象函数用递推的方法求函数值，这类问题关键是将条件和结论有机地结合起来，作适当变形，把握递推的规律．解题中要注意函数奇偶性的应用．