Question

已知点P（a_n，a_n+1）（n∈N^*）（n∈N^*）是函数y=

1

4

x²在点（1，

1

4

）处的切线上的点，且a₁=

1

2

（1）证明：{a_n+

1

2

}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1））由f′(x)=

1

2

x，可得f′（1）=

1

2

，即可得出函数y=

1

4

x²在点（1，

1

4

）处的切线方程为y-

1

4

=

1

2

(x-1)，把点P（a_n，a_n+1）代入变形可得an+1+

1

2

=

1

2

(an+

1

2

)，
即可证明．
（2）利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： 证明：（1）∵f′(x)=

1

2

x，
∴f′（1）=

1

2

，
∴函数y=

1

4

x²在点（1，

1

4

）处的切线方程为y-

1

4

=

1

2

(x-1)，
化为2x-4y-1=0．
∵点P（a_n，a_n+1）（n∈N^*）（n∈N^*）是切线上的点，
∴2a_n-4a_n+1-1=0，
化为an+1+

1

2

=

1

2

(an+

1

2

)，
∴{a_n+

1

2

}是等比数列，首项为a1+

1

2

=1，公比为

1

2

．
（2）由（1）可得an+

1

2

=1×(

1

2

)n-1，
∴an=(

1

2

)n-1-

1

2

．
∴数列{a_n}的前n项和S_n=

1- 1 2n

1- 1 2

-

1

2

×n
=2-

1

2n-1

-

n

2

．

点评：本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了利用导数研究切线的斜率，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．