Question

20．在△ABC中，A，B，C的对边分别为a、b、c，$C=\frac{π}{3}，b=8$，△ABC的面积为$10\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）求cos（B-C）的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知利用三角形面积公式可求a的值，进而利用余弦定理可求c的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）利用余弦定理可求cosB的值，结合范围B∈（0，π），利用同角三角函数基本关系式可求sinB，进而利用两角差的余弦函数公式计算求值得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（Ⅰ）∵$C=\frac{π}{3}，b=8$，△ABC的面积为$10\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×a×8$×sin$\frac{π}{3}$，解得：a=5，
∴由余弦定理可得：c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}-2abcosC}$=$\sqrt{25+64-2×5×8×\frac{1}{2}}$=7…6分
（Ⅱ）∵由（Ⅰ）可得：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{49+25-64}{70}$=$\frac{1}{7}$，
又∵B∈（0，π），可得：sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，
∴cos（B-C）=cosBcos$\frac{π}{3}$+sinBsin$\frac{π}{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{1}{7}×\frac{1}{2}$=$\frac{13}{14}$…12分

点评 本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式，两角差的余弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．