Question

12．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面AA₁C₁C⊥底面ABC，AA₁=A₁C=AC=2，AB=BC且AB⊥BC，
（Ⅰ）求证：AC⊥A₁B；
（Ⅱ）求二面角A-A₁C-B的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）作AC的中点O，由A₁A=A₁C，且O为AC的中点，得A₁O⊥AC，再由面面垂直的性质可得A₁O⊥底面ABC，以O为坐标原点，OB、OC、OA₁所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出所用点的坐标，由$\overrightarrow{{A}_{1}B}•\overrightarrow{AC}$=0，可得AC⊥A₁B；
（Ⅱ）平面AA₁C的一个法向量为$\overrightarrow{n}=（1，0，0）$，设平面A₁CB的一个法向量$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，求出$\overrightarrow{m}$，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A-A₁C-B的余弦值．

解答 （Ⅰ）证明：作AC的中点O，∵A₁A=A₁C，且O为AC的中点，∴A₁O⊥AC，
又侧面AA₁C₁C⊥底面ABC，其交线为AC，且A₁O?平面AA₁C₁C，
∴A₁O⊥底面ABC，
以O为坐标原点，OB、OC、OA₁所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
由已知得：O（0，0，0），A（0，-1，0），A₁（0，0，$\sqrt{3}$），C（0，1，0），C₁（0，2，$\sqrt{3}$），B（1，0，0）．
则有：$\overrightarrow{{A}_{1}B}=（1，0，-\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{AC}=（0，2，0）$，
∵$\overrightarrow{{A}_{1}B}•\overrightarrow{AC}$=0，∴AC⊥A₁B；
（Ⅱ）解：平面AA₁C的一个法向量为$\overrightarrow{n}=（1，0，0）$．
设平面A₁CB的一个法向量$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{A}_{1}C}=y-\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{A}_{1}B}=x-\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{m}=（\sqrt{3}，\sqrt{3}，1）$．
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}=\frac{\sqrt{3}}{1×\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{21}}{7}$．
∴二面角A-A₁C-B的余弦值为$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

点评 本题考查直线与直线的位置关系，训练了利用空间向量求异面直线所成角及二面角，是中档题．