Question

18．锐角三角形ABC的三边长a，b，c成等差数列，且a²+b²+c²=21，则实数b的取值范围是（　　）

• A． $（{\sqrt{6}，\sqrt{7}}]$
• B． $（{0，\sqrt{7}}]$
• C． $（{\frac{{2\sqrt{42}}}{5}，\sqrt{7}}]$
• D． （6，7]

Answer 1

分析 设公差为d，用b，d表示出a，c，根据a+b＞c，a²+b²＞c²得出b，d的关系，代入a²+b²+c²=21即可解出b的范围．

解答 解：设a≤b≤c，a，b，c组成的等差数列公差为d（d≥0），
则a=b-d，c=b+d，
∵a²+b²+c²=21，∴（b-d）²+b²+（b+d）²=21，
即3b²+2d²=21，
∴当d²=0时，b取得最大值$\sqrt{7}$；
由a+b＞c得b-d+b＞b+d，即d＜$\frac{b}{2}$，
∴3b²+2×$\frac{{b}^{2}}{4}$＞21，解得b＞$\sqrt{6}$；
由三角形ABC为锐角三角形可知cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$＞0，
即a²+b²-c²＞0，
∴（b-d）²+b²-（b+d）²＞0，解得d＜$\frac{b}{4}$，
∴3b²+2×$\frac{{b}^{2}}{16}$＞21，解得b＞$\frac{2\sqrt{42}}{5}$，
综上，$\frac{2\sqrt{42}}{5}$＜b≤$\sqrt{7}$．
故选C．

点评 本题考查了余弦定理，等差数列的性质，不等式的性质，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．