Question

10．双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）上任意一点M与左右顶点A₁、A₂连线的斜率之积为$\frac{3}{4}$，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． $\frac{5}{4}$
• C． $\frac{\sqrt{7}}{2}$
• D． $\frac{5}{3}$

Answer 1

分析 设出M的坐标，利用已知条件，转化求解双曲线的离心率即可．

解答 解：设M（m，n），由题意可得：$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{n}^{2}}{{b}^{2}}=1$，${m}^{2}=\frac{{a}^{2}（{b}^{2}+{n}^{2}）}{{b}^{2}}$，
并且：$\frac{n}{m-a}•\frac{n}{m+a}=\frac{3}{4}$，
可得$\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}-{a}^{2}}$=$\frac{3}{4}$，
所以$\frac{{n}^{2}}{\frac{{a}^{2}（{b}^{2}+{n}^{2}）}{{b}^{2}}-{a}^{2}}$=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{3}{4}$，∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{7}{4}$，
e=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．