Question

如图，设圆弧x²+y²=1（x≥0，y≥0）与两坐标轴正半轴围成的扇形区域为M，过圆弧上一点A做该圆的切线与两坐标轴正半轴围成的三角形区域为N．现随机在区域N内投一点B，若设点B落在区域M内的概率为P，则P的最大值为（　　）

• A、

  1

  4

• B、

  π

  8

• C、

  1

  2

• D、

  π

  4

Answer 1

考点：几何概型

专题：概率与统计

分析：由题意，若点B落在区域M内的概率为P，P取最大，则过圆弧上一点A做该圆的切线与两坐标轴正半轴围成的三角形区域为N的面积最小，即直角三角形斜边长最小．

解答： 解：由题意，若点B落在区域M内的概率为P，P取最大，
则过圆弧上一点A做该圆的切线与两坐标轴正半轴围成的三角形区域为N的面积最小，即直角三角形斜边长最小．
设∠AOx=α，则直角三角形斜边长为tanα+

1

tanα

≥2，
当且仅当α=45°时，直角三角形斜边长最小直角三角形斜边长最小，此时三角形的面积为1，
∴P的最大值为

π 4

1

=

π

4

．
故选：D．

点评：本题考查几何概型，考查学生分析解决问题的能力，确定直角三角形斜边长最小是关键．