题目内容
如图，在直角梯形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AB＜CD，PD⊥平面ABCD，AB=AD=a，PD=| 2 |
（1）求证：平面PAB⊥平面PAD；
（2）设M为PB中点，当CD=2AB时，求证：DM⊥MC．
考点：平面与平面垂直的性质
专题：空间位置关系与距离
分析：（1）由已知得平面ABCD⊥平面PMN，从而PD⊥AB，进而AB⊥平面PAD．由此能证明平面PAB⊥平面PAD．
（2）连结BD，设CD中点为N，连结BN，且DN=AB，BN∥AD，BN⊥CD，由已知得CB⊥BD，PD⊥BC，BC⊥平面PBD．由此能证明DM⊥MC．
（2）连结BD，设CD中点为N，连结BN，且DN=AB，BN∥AD，BN⊥CD，由已知得CB⊥BD，PD⊥BC，BC⊥平面PBD．由此能证明DM⊥MC．
解答：
证明：（1）∵∠BAD=90°，∴AB⊥CD．
又PD⊥平面ABCD，AB⊆平面ABCD，
∴平面ABCD⊥平面PMN，
∴PD⊥AB．∵PD∩AD=D，
∴AB⊥平面PAD．
又AB⊆平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD．
（2）连结BD，∵∠BAD=90°，AB=AD=a，
∴BD=
a，∴PD=BD，∠BDA=45°．
又M为PB中点，∴DM⊥PB…①．
设CD中点为N，连结BN，且DN=AB，
∴BN∥AD，BN⊥CD．∵CD=2AB，AB=AD，
∴CN=BN，即∠CBN=45°，
∴∠CBD=90°，CB⊥BD，
PD⊥平面ABCD，PD⊥BC，
∵PD∩BD=D，∴BC⊥平面PBD．
∵DM⊆平面PBD，∴BC⊥DM…②
由①②，∵PB∩BC=B，∴DM⊥平面PBC，
而CM⊆平面PBC，∴DM⊥MC．
又PD⊥平面ABCD，AB⊆平面ABCD，
∴平面ABCD⊥平面PMN，
∴PD⊥AB．∵PD∩AD=D，
∴AB⊥平面PAD．
又AB⊆平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD．
（2）连结BD，∵∠BAD=90°，AB=AD=a，
∴BD=
| 2 |
又M为PB中点，∴DM⊥PB…①．
设CD中点为N，连结BN，且DN=AB，
∴BN∥AD，BN⊥CD．∵CD=2AB，AB=AD，
∴CN=BN，即∠CBN=45°，
∴∠CBD=90°，CB⊥BD，
PD⊥平面ABCD，PD⊥BC，
∵PD∩BD=D，∴BC⊥平面PBD．
∵DM⊆平面PBD，∴BC⊥DM…②
由①②，∵PB∩BC=B，∴DM⊥平面PBC，
而CM⊆平面PBC，∴DM⊥MC．
点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查异面直线垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
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