Question

当非空集合S⊆N^*，且满足命题“如果x∈S，则8-x∈S”时，回答下列问题．
（1）试写出只有一个元素的集合S；
（2）试写出元素个数为2的S的全部；
（3）满足上述条件的集合S总共有几个．

Answer 1

考点：元素与集合关系的判断

专题：集合

分析：根据已知中S⊆N^*，且满足命题“如果x∈S，则8-x∈S”
（1）当S只有一个元素时，x=8-x，解得S；
（2）用列举法，可得到所有元素个数为2的S；
（3）类比n元集合有2ⁿ-1个非空真子集，可得满足上述条件的集合S的个数；

解答： 解：∵S⊆N^*，且满足命题“如果x∈S，则8-x∈S”
（1）当S只有一个元素时，x=8-x，
解得：x=4，
故S=4，
（2）当S只有二个元素时，集合S可以为：
{1，7}，{2，6}，{3，5}
（3）由于集合S中的元素1与7，2与6，3与5必须同时出现，故S中的元素至多有4组，
又∵S≠∅，
故满足条件的S共有2⁴-1=15个

点评：本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，正确理解条件“如果x∈S，则8-x∈S”是解答的关键．