Question

2．设函数f（x）=e^x-ax²+1，曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y=bx+2．
（1）求a，b的值；
（2）若方程F（x）=f（x）-mx有两个极值点x₁，x₂（x₁＜x₂），x₀是x₁与x₂的等差中项；
（i）求实数m的取值范围；
（ii）求证：f′（x₀）＜0 （ f′（x）为f（x）的导函数）．

Answer 1

分析 （1）先求导，再根据导数的几何意义即可求出a，b的值，ϕ_min（x）=ϕ（ln2）=2-2ln2
（2）先求导，分离参数，再构造函数，利用导数求出最值，（i）结合图象m∈（2-2ln2，+∞），
（ii）由图易知：x₁＜ln2＜x₂设F（x）=ϕ（x）-ϕ（2ln2-x）  （x＜ln2），再求导，求出函数极值点，再根据等差中项的性质ϕ′（x₀）＜0，问题得以证明．

解答 解：（1）f′（x）=e^x-2ax，f′（1）=e-2a，f（1）=e-a+1，
∴曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为：y-e+a-1=（e-2a）x-e+2a，
即：y=（e-2a）x+a+1，
由题意：e-2a=b，a+1=2，
∴a=1，b=e-2
（2）由（1）知：f（x）=e^x-x²+1，f′（x）=e^x-2x，
∴F′（x）=f′（x）-m=e^x-2x-m，
令ϕ（x）=e^x-2x，则ϕ′（x）=e^x-2，由ϕ′（x）＜0得：x＜ln2；
由ϕ′（x）＞0得：x＞ln2；
∴ϕ（x）在（-∞，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增；
当x→+∞时，ϕ（x）→+∞，当x→-∞时，ϕ（x）→+∞；
ϕ（x）的图象如图所示：
ϕ_min（x）=ϕ（ln2）=2-2ln2，
（i）若使ϕ（x）=f′（x）=e^x-2x=m有两个解x₁，x₂，则应有：m＞2-2ln2
∴m∈（2-2ln2，+∞），
（ii）由图易知：x₁＜ln2＜x₂
设F（x）=ϕ（x）-ϕ（2ln2-x）  （x＜ln2），
则F′（x）=ϕ′（x）+ϕ′（2ln2-x）=e^x-2+e^2ln2-x-2=e^x+$\frac{4}{ex}$-4≥0，
∴F（x）在（-∞，ln2）上单调递增，
∴F（x）＜F（ln2）=0，
即：ϕ（x）-ϕ（2ln2-x）＜0，
即ϕ（x）＜ϕ（2ln2-x），
∵x₁∈（-∞，ln2），∴ϕ（x₁）＜ϕ（2ln2-x₁），
∵ϕ（x₁）=ϕ（x₂）=m，∴ϕ（x₂）＜ϕ（2ln2-x₁），
∵ϕ（x）在 （ln2，+∞）上单调递增且x₂＞ln2，2ln2-x₁＞ln2，
∴x₂＜2ln2-x₁，
∴x₁+x₂＜2ln2，
∴$\frac{x1+x2}{2}$＜ln2，
即x₀＜ln2，
∵ϕ（x）在（-∞，ln2）上单调递减，
∴ϕ′（x₀）＜0，
 即f′（x₀）＜0

点评 本题考查了导数的几何意义以及导数和函数的单调性和最值的关系，考查了转化能力，运算能力，解决问题的能力，属于难题．