Question

20．给出下列函数：
①f（x）=xsinx；
②f（x）=e^x+x；
③f（x）=ln（$\sqrt{1+{x}^{2}}$-x）；
?a＞0，使${∫}_{-a}^{a}$f（x）dx=0的函数是（　　）

• A． ①②
• B． ①③
• C． ②③
• D． ①②③

Answer 1

分析 ①求出${∫}_{-a}^{a}$f（x）dx的积分，结合函数的图象得出存在a＞0，使${∫}_{-a}^{a}$f（x）dx=0成立；
②求出${∫}_{-a}^{a}$（e^x+x）dx=0时a的值，得出命题不成立；
③根据f（x）是定义域上的奇函数，积分的上下限互为相反数，得出定积分值为0，满足条件．

解答 解：对于①，f（x）=xsinx，
∵（sinx-xcosx）′=xsinx，
∴${∫}_{-a}^{a}$xsinxdx=（sinx-xcosx）${|}_{-a}^{a}$=2sina-2acosa，
令2sina-2acosa=0，
∴sina=acosa，
又cosa≠0，∴tana=a；

画出函数y=tanx与y=x的部分图象，如图所示；
在（0，$\frac{π}{2}$）内，两函数的图象有交点，
即存在a＞0，使${∫}_{-a}^{a}$f（x）dx=0成立，①满足条件；
对于②，f（x）=e^x+x，${∫}_{-a}^{a}$（e^x+x）dx=（e^x+$\frac{1}{2}$x²）${|}_{-a}^{a}$=e^a-e^-a；
令e^a-e^-a=0，解得a=0，不满足条件；
对于③，f（x）=ln（$\sqrt{1+{x}^{2}}$-x）是定义域R上的奇函数，
且积分的上下限互为相反数，
所以定积分值为0，满足条件；
综上，?a＞0，使${∫}_{-a}^{a}$f（x）dx=0的函数是①③．
故选：B．

点评 本题主要考查了定积分运算性质的应用问题，当被积函数为奇函数且积分区间对称时，积分值为0，是综合性题目．