Question

10．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜2π）的部分图象如图所示，且f（0）=f（$\frac{5π}{6}$）．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的解析式，并写出它的单调增区间．

Answer 1

分析 （1）由函数图象可得A=2，又由f（0）=f（$\frac{5π}{6}$），可知函数f（x）一条对称轴为x=$\frac{5π}{12}$，即可求得f（x）的最小正周期T=4（$\frac{5π}{12}$-$\frac{π}{6}$）=π．
（2）由（1）及周期公式可得：ω=2，由点（$\frac{5π}{12}$，-2）在函数图象上，可得：2sin（$\frac{5π}{12}$×2+φ）=-2，结合范围0＜φ＜2π，可得φ，即可解得f（x）的解析式，由2kπ$-\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{2π}{3}$≤2k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z即可解得函数单调递增区间．

解答 （本题满分为10分）
解：（1）由函数图象可得：A=2，
又由f（0）=f（$\frac{5π}{6}$），可知函数f（x）一条对称轴为x=$\frac{0+\frac{5π}{6}}{2}$=$\frac{5π}{12}$，
故函数f（x）的最小正周期T=4（$\frac{5π}{12}$-$\frac{π}{6}$）=π．
（2）由（1）可得：ω=$\frac{2π}{T}$=2，
由点（$\frac{5π}{12}$，-2）在函数图象上，可得：2sin（$\frac{5π}{12}$×2+φ）=-2，解得：φ=2kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z，
又0＜φ＜2π，可得：φ=$\frac{2π}{3}$，
f（x）的解析式为：f（x）=2sin（2x+$\frac{2π}{3}$）．
故由2kπ$-\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{2π}{3}$≤2k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z即可解得函数单调递增区间为：[kπ$-\frac{7π}{12}$，kπ$-\frac{π}{12}$]，k∈Z．

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数的周期性及其求法，考查了正弦函数的图象和性质，属于中档题．