题目内容
7．（1）设（3x-1）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4．①求a0+a1+a2+a3+a4；
②求a0+a2+a4；
③求a1+a2+a3+a4；
（2）求S=C271+C272+…+C2727除以9的余数．
分析 （1）①利用赋值法，令x=1即可计算a0+a1+a2+a3+a4的值；
②令x=-1，结合①即可求出a0+a2+a4的值；
③令x=0，结合二项式系数和即可求出结果；
（2）利用二项式系数和，把S分解为9的倍数形式，再求对应的余数．
解答 解：（1）①令x=1，得a0+a1+a2+a3+a4=（3-1）4=16；（3分）
②令x=-1，得a0-a1+a2-a3+a4=（-3-1）4=256，
而由①知a0+a1+a2+a3+a4=（3-1）4=16，
两式相加，得2（a0+a2+a4）=272，
所以a0+a2+a4=136；（6分）
③令x=0，得a0=（0-1）4=1，
所以a1+a2+a3+a4=a0+a1+a2+a3+a4-a0=16-1=15；
（2）S=${C}_{27}^{1}$+${C}_{27}^{2}$+…+${C}_{27}^{27}$
=227-1
=89-1
=（9-1）9-1
=${C}_{9}^{0}$×99-${C}_{9}^{1}$×98+…+${C}_{9}^{8}$×9-${C}_{9}^{9}$-1
=9×（${C}_{9}^{0}$×98-${C}_{9}^{1}$×97+…+${C}_{9}^{8}$）-2
=9×（${C}_{9}^{0}$×98-${C}_{9}^{1}$×97+…+${C}_{9}^{8}$-1）+7，
显然上式括号内的数是正整数．
故S被9除的余数为7．
点评 本题考查了利用赋值法求二项式系数的应用问题，也考查了整除的应用问题，是基础题目．
练习册系列答案
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17．若向量$\overrightarrow a$与$\overrightarrow a+2\overrightarrow b$的数量积为6，且$|{\overrightarrow a}|=2，|{\overrightarrow b}|=1$，则向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$的夹角为（ ）
| A． | $\frac{π}{6}$ | B． | $\frac{π}{3}$ | C． | $\frac{2π}{3}$ | D． | $\frac{5π}{6}$ |
如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥AB，AD=DC=1，AB=2，点P，Q分别在线段BC，CD上运动，且$\overrightarrow{DQ}$=λ$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{CP}$=（1-λ）$\overrightarrow{CB}$．