Question

2．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥AB，AD=DC=1，AB=2，点P，Q分别在线段BC，CD上运动，且$\overrightarrow{DQ}$=λ$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{CP}$=（1-λ）$\overrightarrow{CB}$．
（1）当λ=$\frac{1}{2}$时，求|$\overrightarrow{AP}$|；
（2）求$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AQ}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）建立平面直角坐标系，根据题意λ=$\frac{1}{2}$时P是CB的中点，利用平面向量的坐标表示求出|$\overrightarrow{AP}$|的值；
（2）利用平面向量的坐标表示求出$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AQ}$的最大最小值，即可得出$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AQ}$的取值范围．

解答 解：（1）建立平面直角坐标系，如图所示；
则A（0，0），B（2，0），C（1，1），D（0，1）；
当λ=$\frac{1}{2}$时，$\overrightarrow{CP}$=（1-λ）$\overrightarrow{CB}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{CB}$，
∴P是CB的中点，则P（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$）；
∴$\overrightarrow{AP}$=（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$），|$\overrightarrow{AP}$|=$\sqrt{{（\frac{3}{2}）}^{2}{+（\frac{1}{2}）}^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$；
（2）设点Q（x，1），∴$\overrightarrow{DQ}$=（x，0），
$\overrightarrow{DC}$=（1，0），
∵$\overrightarrow{DQ}$=λ$\overrightarrow{DC}$，λ∈[0，1]，
∴x=λ，Q（λ，1）；
设点P（a，b），∴$\overrightarrow{CP}$=（a-1，b-1），
$\overrightarrow{CB}$=（1，-1），
$\overrightarrow{CP}$=（1-λ）$\overrightarrow{CB}$，λ∈[0，1]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-1=1-λ}\\{b-1=-1+λ}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2-λ}\\{b=λ}\end{array}\right.$，
∴P（2-λ，λ），
∴$\overrightarrow{AQ}$=（λ，1），$\overrightarrow{AP}$=（2-λ，λ），
∴$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AQ}$=λ（2-λ）+λ=-λ²+3λ=-${（λ-\frac{3}{2}）}^{2}$+$\frac{9}{4}$，λ∈[0，1]，
∴当λ=0时$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AQ}$取得最小值0，
λ=1时$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AQ}$取得最大值2；
∴$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AQ}$的取值范围是[0，2]．

点评 本题考查了用平面向量的坐标表示解答平面几何问题的应用问题，是中档题目．