题目内容
17．甲、乙两人组成“火星队”参加投篮游戏，每轮游戏中甲、乙各投一次，如果两人都投中，则“火星队”得4分；如果只有一人投中，则“火星队”得2分；如果两人都没投中，则“火星队”得0分．已知甲每次投中的概率为$\frac{4}{5}$，乙每次投中的概率为$\frac{3}{4}$；每轮游戏中甲、乙投中与否互不影响，假设“火星队”参加两轮游戏，求：（I）“火星队”至少投中3个球的概率；
（II）“火星队”两轮游戏得分之和X的分布列和数学期望EX．
分析 （I）分别计算至少投进3球所对应的4中情况的概率，再相加即可；
（II）计算所有可能的得分情况的概率，列出分布列计算数学期望．
解答 解：（Ⅰ）设事件Ai为“甲第i次投中”，事件Bi为“乙第i次投中”，
∴$P（至少投进3球）=P（{A_1}{A_2}{B_1}{B_2}）+P（\overline{A_1}{A_2}{B_1}{B_2}）+P（{A_1}\overline{A_2}{B_1}{B_2}）+P（{A_1}{A_2}\overline{B_1}{B_2}）+P（{A_1}{A_2}{B_1}{\overline B_2}）$=$\frac{4}{5}•\frac{4}{5}•\frac{3}{4}•\frac{3}{4}+2•（\frac{1}{5}•\frac{4}{5}•\frac{3}{4}•\frac{3}{4}+\frac{4}{5}•\frac{4}{5}•\frac{1}{4}•\frac{3}{4}）=\frac{39}{50}$．
答：“火星队”至少投中3个球的概率为$\frac{39}{50}$．
（Ⅱ）X的所有可能的取值为0，2，4，6，8．
$P（X=0）=\frac{1}{4}•\frac{1}{5}•\frac{1}{4}•\frac{1}{5}=\frac{1}{400}$，$P（X=2）=2•（\frac{3}{4}•\frac{1}{5}•\frac{1}{4}•\frac{1}{5}+\frac{1}{4}•\frac{4}{5}•\frac{1}{4}•\frac{1}{5}）=\frac{14}{400}=\frac{7}{200}$，$P（X=4）=2•（\frac{3}{4}•\frac{4}{5}•\frac{1}{4}•\frac{1}{5}+\frac{1}{4}•\frac{4}{5}•\frac{3}{4}•\frac{1}{5}）+\frac{3}{4}•\frac{1}{5}•\frac{3}{4}•\frac{1}{5}+\frac{1}{4}•\frac{4}{5}•\frac{1}{4}•\frac{4}{5}=\frac{73}{400}$$P（X=6）=2•（\frac{3}{4}•\frac{4}{5}•\frac{3}{4}•\frac{1}{5}+\frac{3}{4}•\frac{4}{5}•\frac{1}{4}•\frac{4}{5}）=\frac{168}{400}=\frac{21}{50}$，$P（X=8）=\frac{3}{4}•\frac{4}{5}•\frac{3}{4}•\frac{4}{5}=\frac{144}{400}=\frac{9}{25}$．
∴X的分布列为
| X | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 |
| P | $\frac{1}{400}$ | $\frac{7}{200}$ | $\frac{73}{400}$ | $\frac{21}{50}$ | $\frac{9}{25}$ |
点评 本题考查了相互独立事件的概率计算，离散变量的分布列和数学期望，属于中档题．
| A． | [-2，2] | B． | [-2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$] | C． | （-2，2） | D． | （-2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$） |
| A． | $\frac{1-i}{2}$ | B． | -$\frac{1+i}{2}$ | C． | $\frac{1+i}{2}$ | D． | $\frac{1}{2}$ |
| A． | 若|a|＜b，则a2＞b2 | B． | 若|a|＞b，则a2＞b2 | C． | 若a＞b，则a2＞b2 | D． | 若a＞|b|，则a2＞b2 |