Question

16．在（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{{2\root{4}{x}}}$）ⁿ的展开式中，已知含x的一次项为第五项．
（1）求n的值；
（2）求展开式中的有理项．

Answer 1

分析 （1）利用二项式展开式的通项公式结合题意，即可求出n的值；
（2）利用二项式展开式的通项公式，即可求出展开式中的有理项．

解答 解：（1）（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{{2\root{4}{x}}}$）ⁿ展开式的通项公式为
T_r+1=${C}_{n}^{r}$•${（\sqrt{x}）}^{n-r}$•${（\frac{1}{2\root{4}{x}}）}^{r}$
=${C}_{n}^{r}$•${（\frac{1}{2}）}^{r}$•${x}^{\frac{2n-3r}{4}}$，
由已知得，当r=4时，为x的一次项，
即$\frac{2n-12}{4}$=1，
解得n=8；
（2）由（1）知，T_r+1=${C}_{8}^{r}$•${（\frac{1}{2}）}^{r}$•${x}^{\frac{16-3r}{4}}$，
要使T_r+1为有理项，则$\frac{16-3r}{4}$∈Z；
又r=0，1，2，…，8，
所以r=0，4，8；
所以展开式中的有理项为：
第1项T₁=x⁴，
第5项T₅=$\frac{35}{8}$x，
第9项T₉=$\frac{1}{25{6x}^{2}}$．

点评 本题考查了二项式展开式通项公式的应用问题，是基础题目．