Question

若△ABC的外接圆是半径为1的圆O，且∠AOB=120°，则

AC

•

CB

的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：计算题,平面向量及应用

分析：运用向量的数量积的定义可得，

OA

•

OB

=-

1

2

，再由向量的三角形法则，可得

AC

•

CB

=（

OC

-

OA

）•（

OB

-

OC

），化简整理，结合余弦函数的值域即可得到范围．

解答： 解：

OA

•

OB

=|

OA

|•|

OB

|•cos∠AOB
=1×1×（-

1

2

）=-

1

2

，
|

OA

+

OB

|=

( OA + OB )2

=

OA 2+ OB 2+2 OA • OB

=

1+1-2× 1 2

=1
则

AC

•

CB

=（

OC

-

OA

）•（

OB

-

OC

）=-

OA

•

OB

-

OC

2+

OC

•（

OA

+

OB

）
=

1

2

-1+|

OC

|•|

OA

+

OB

|•cosθ=-

1

2

+cosθ，（θ≠

π

3

），
由于-1≤cosθ≤1，且cosθ≠

1

2

，
则-

3

2

≤-

1

2

+cosθ＜0，或0＜-

1

2

+cosθ≤

1

2

．
故答案为：[-

3

2

，0）∪（0，

1

2

]．

点评：本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查向量的三角形法则和余弦函数的值域，考查运算能力，属于中档题．