Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2-（

2

n

+1）a_n（n∈N⁺）．
求证：数列{

an

n

}是等比数列；
设数列{2ⁿa_n}的前n项和为T_n，求数列{

1

Tn

}的前n项和为A_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：首先由数列递推式求得数列的首项，取n=n-1后作差即可证得数列{

an

n

}是等比数列；由等比数列的通项公式求出数列{a_n}的通项公式，代入{2ⁿa_n}后由等差数列的前n项和求得T_n，取倒数后由裂项相消法求得数列
{

1

Tn

}的前n项和为A_n．

解答： 证明：由S_n=2-（

2

n

+1）a_n，①
取n=1，得a₁=S₁=2-（2+1）a₁，即a1=

1

2

；
当n≥2时，Sn-1=2-(

2

n-1

+1)an-1，②
①-②得，an=-

n+2

n

an+

n+1

n-1

an-1，
即

2n+2

n

an=

n+1

n-1

an-1，
∴

an

n

=

1

2

an-1

n-1

（n≥2），
∴数列{

an

n

}是以

1

2

为首项，以

1

2

为公比的等比数列；
∵数列{

an

n

}是以

1

2

为首项，以

1

2

为公比的等比数列，
∴

an

n

=

1

2n

，an=

n

2n

．
则2ⁿa_n=2n•

n

2n

=n．
∴T_n=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

．
则

1

Tn

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)．
故An=2(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

)=2(1-

1

n+1

)=

2n

n+1

．

点评：本题考查了等比关系的确定，考查了等差数列的前n项和，训练了裂项相消法求数列的前n项和，是中档题．