Question

在△ABC中，tanA+tanB+tanC＞0是△ABC是锐角三角形的（　　）

• A、既不充分也不必要条件
• B、充分必要条件
• C、必要不充分条件
• D、充分不必要条件

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：简易逻辑

分析：根据充分必要条件的定义，分别证明充分性和必要性，从而得出答案．

解答： 解：先证充分性：
∵tan（A+B）=

tanA+tanB

1-tanA•tanB

，
∴tan（A+B）=tan（180°-C）=-tanC，
∴tanA+tanB=-tanC+tanAtanBtanC，
∴tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC，
若三角形有一个钝角，必有一个值为负值，tanA•tanB•tanC＜0，
若三角形有一个为直角，则tanA•tanB•tanC无意义，
∴当tanA•tanB•tanC＞0时三个角为锐角，
故tanA+tanB+tanC＞0时，△ABC是锐角三角形；
再证必要性：
∵△ABC是锐角三角形；
∴tanA•tanB•tanC＞0，
又tan（A+B）=

tanA+tanB

1-tanA•tanB

，
∴tan（A+B）=tan（180°-C）=-tanC，
∴tanA+tanB=-tanC+tanAtanBtanC，
∴tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC＞0，
∴△ABC是锐角三角形时，tanA+tanB+tanC＞0．
故选：B．

点评：本题考查了充分必要条件，考查了三角恒等变换，是一道中档题．