Question

16．已知函数f（x）=ln（x+m）-x（m为常数），在x=0处取值极值，设g（x）=f（x）-x²．
（Ⅰ）求m的值及g（x）的单调区间；
（Ⅱ）n∈N^*，n≥2时，证明：ln$\frac{n+1}{2}$＜1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n-1}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出原函数的导函数，得到m值，代入g（x），再由导函数的符号求得原函数的单调区间；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中的函数单调性可得函数的最大值，进一步得到ln（x+1）≤x+x²，设x=$\frac{1}{n}$，n∈N*，n≥2，再利用放缩法证明不等式即可

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=ln（x+m）-x，
∴f′（x）=$\frac{1}{x+m}$-1，
∵f′（0）=0，
∴$\frac{1}{m}$-1=0，
解得m=1，（检验满足），
∴g（x）=f（x）-x²=ln（x+1）-x-x²，x＞-1，
∴g′（x）=$\frac{1}{x+1}$-1-2x=-$\frac{x（2x+3）}{x+1}$，
当g′（x）＞0时，解得-1＜x＜0，函数g（x）为增函数，
当g′（x）＜0时，解得x＞0，函数g（x）为减函数，
∴g（x）在（-1，0）上单调递增，在（0，+∞）单调递减，
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，g（x）_max=g（0）=0，
∴g（x）ln（x+1）-x-x²≤0，
即ln（x+1）≤x+x²，
设x=$\frac{1}{n}$，n∈N*，n≥2，
∴ln（1+$\frac{1}{n}$）=ln（n+1）-lnn≤$\frac{n+1}{{n}^{2}}$＜$\frac{n+1}{{n}^{2}-1}$=$\frac{1}{n-1}$，
∴ln$\frac{n+1}{2}$=（ln3-ln2）+（ln4-ln3）+…+ln（n+1）-lnn＜1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{n-1}$．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，训练了数列不等式的证明方法，属于难题