Question

15．已知△ABC，AB=$\sqrt{2}，AC=4，∠BAC={45°}$，则△ABC外接圆的直径为2$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由已知利用余弦定理可求BC，进而利用正弦定理可求三角形外接圆的半径，进而得解直径的值．

解答 解：∵AB=$\sqrt{2}，AC=4，∠BAC={45°}$，
∴由余弦定理可得：BC=$\sqrt{A{C}^{2}+A{B}^{2}-2AB•AC•cos∠BAC}$=$\sqrt{2+16-2×\sqrt{2}×4×\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\sqrt{10}$，
∵设△ABC外接圆的半径为R，由正弦定理可得：R=$\frac{BC}{2sin∠BAC}$=$\frac{\sqrt{10}}{2×\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴△ABC外接圆的直径为2$\sqrt{5}$．
故答案为：2$\sqrt{5}$．

点评 本题主要考查了余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．