Question

定义在R上的函数f（x）=

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x³-2x²+（3+a）x，a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，求函数在[-1，1]上的最大值；
（Ⅱ）求函数的单调区间．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）a=1时，f′（x）=x²-4x+4=（x-2）²≥0，由此能求出函数在[-1，1]上的最大值．
（Ⅱ）由f′（x）=x²-4x+3+a=（x-2）²+a-1，利用导数性质和分类讨论思想能求出函数的单调区间．

解答： 解：（Ⅰ）∵a=1时，f（x）=

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3

x³-2x²+4x，
∴f′（x）=x²-4x+4，
由f′（x）=0，得x=2，
∵2∉[-1，1}，∴x=2不合题意，舍去．
∵f′（x）=x²-4x+4=（x-2）²≥0，
∴f（x）在R上是增函数，
∴函数在[-1，1]上的最大值为f（1）=

7

3

．
（Ⅱ）∵f（x）=

1

3

x³-2x²+（3+a）x，a∈R，
∴f′（x）=x²-4x+3+a=（x-2）²+a-1，
①当a＜1时，由f′（x）＞0，得x＜1-

1-a

或x＞1+

1-a

，
由f′（x）＜0，得1-

1-a

＜x＜1+

1-a

，
∴f（x）的增区间为（-∞，1-

1-a

），（1+

1-a

，+∞），
f（x）的减区间为（1-

1-a

，1+

1-a

）；
②当a=1时，∵f′（x）=x²-4x+4=（x-2）²≥0，
∴f（x）的增区间是（-∞，+∞），无减区间；
③当a＞1时，f′（x）=x²-4x+3+a=（x-2）²+a-1＞0，
∴f（x）的增区间是（-∞，+∞），无减区间．
综上所述，当a＜1时，f（x）的增区间为（-∞，1-

1-a

），（1+

1-a

，+∞），
f（x）的减区间为（1-

1-a

，1+

1-a

）；
当a≥1时，（x）的增区间是（-∞，+∞），无减区间．

点评：本题考查函数在闭区间上的最大值的求法，考查函数的单调区间的求法，解题时要认真审题，注意导数性质和分类讨论思想的合理运用．