题目内容

某商店预出售一种商品，经市场调查知，该商品定价为x元每件时可以卖出（100-x）件，又知每件的进货价格为20元，
（1）设利润为y，把y表示成x的函数，并写出函数的定义域；
（2）定价x为多少元时，才能获得最大的利润．
考点：函数模型的选择与应用
专题：应用题,函数的性质及应用
分析：（1）利用该商品定价为x元每件时可以卖出（100-x）件，又知每件的进货价格为20元，可得y=（x-20）（100-x）（20＜x＜100）；
（2）利用基本不等式，即可得出结论．
解答： 解：（1）∵该商品定价为x元每件时可以卖出（100-x）件，又知每件的进货价格为20元，
∴y=（x-20）（100-x）（20＜x＜100），
（2）y=（x-20）（100-x）≤(
x-20+100-x
2
)2=1600，
当且仅当x-20=100-x，即x=60元时，才能获得最大的利润．
点评：本题考查函数模型的选择与应用，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，比较基础．
练习册系列答案
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设M是由满足下列条件的函数f（x）（x∈R）构成的集合：①方程f（x）-x=0有实数根；②函数f（x）的导数f′（x）满足0＜f′（x）＜1．
（Ⅰ）判断函数f（x）=
x
2
+
cos
8
-
1
8
是否是集合M中的元素，并说明理由；
（Ⅱ）若函数f（x）是集合M中的一个元素，x0是方程f（x）-x=0的实数根，求证：对于定义域中的任意两个实数x1，x2，当|x0-x1|＜1且|x2-x0|＜1时，不等式|f（x2）-f（x1）|＜2成立．
已知函数f（x）=3x2+a，g（x）=2ax+1，a∈R
（1）证明：方程f（x）=g（x）恒有两个不相等的实数根；
（2）若函数f（x）在（0，2）上无零点，请你探究函数y=|g（x）|在（0，2）上的单调性；
（3）设F（x）=f（x）-g（x），若对任意的x∈（0，1），恒有：-1＜F（x）＜1成立，求实数a的取值范围．
已知函数f(x)=
1
3
x
3
 
+a
x
2
 
+bx．
（1）若函数f（x）在区间[-1，1），（1，3]内各有一个极值点，当以a2-b取最大值时，求函数f（x）的表达式；
（2）若a=-1，在曲线y=f（x）上是否存在唯一的点P，使曲线在点P处的切线l与曲线只有一个公共点？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
已知a为实数，函数f（x）=x3-ax2-4x+4a
（1）若a=
1
2
，求f（x）在[-2，2]上的最大值和最小值；
（2）若f（x）在（2，+∞）上是单调递增的，求a的取值范围．
已知集合A={x|2m-1＜x＜3m+2}，B={x|x≤-2或x≥5}，若A∩B≠∅，求实数m的取值范围．
设x=a和x=b是函数f（x）=lnx+
1
2
x2-（m+2）x的两个极值点，其中a＜b，m∈R．
（1）求f（a）+f（b）的取值范围；
（2）若m≥
e
+
1
e
-2（e为自然对数的底数），求f（b）-f（a）的最大值．
已知曲线S：y=x3-6x2-x+6，求S上斜率最小的切线方程．
已知函数f（x）=ax-
1
x
-（a+1）lnx（a＞0）．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线与直线y=
3
4
x平行，求实数a的值；
（Ⅱ）若函数f（x）在x=1处取得极小值，且m≥-a2+4a，求实数m的取值范围．

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